Kräftefreier Kreisel

Kraftfreier Gyroskop

Der kräftefreie Gyroskop kann erreicht werden, indem man den Gyroskop im Schwerpunkt unterstützt. Gyro x' y' y' z' z' z x y z Raum fest KS Körper fest KS. mw-headline" id="Bezeichnungen">Bezeichnungen[Bearbeiten | < Quelltext bearbeiten] Das kraftschlüssige Gyroskop ist ein Gyroskop, das sich ohne Momente um seinen Ruhepunkt dreht.} Obwohl die Rotationsbewegung von Gyroskopen ausschliesslich durch das auf sie wirkende Drehmoment beeinflusst wird, hat sich der Begriff "kraftfreier Gyroskop" etabliert. Bei der Formulierung der Gyro-Gleichungen durch Leonhard Euler im Jahre 1750 konnte er bereits eine Antwort im kraftfreien Falle geben.

Das kraftschlüssige Gyroskop wird zu Ehren von Leonhard Euler auch als Euler-Gyroskop bezeichnet.

Neben dem Lagrange-Kreisel und dem Kovalevskaya-Kreisel ist es einer der drei Fall von Gyro-Gleichungen, die immer mit rationellen Ganzzahlen gelöst werden können. Mit Jacobis Ellipsenfunktionen, die am Kreisel in sinusförmig und cosinusförmig wechseln, können die Windgeschwindigkeiten ausgedrückt werden. Der Kreisel weist hier ein besonders gleichmäßiges und deskriptives Fahrverhalten auf. Neben der Schwere kann in einem Gravitationsfeld ein kraftfreier Kreisel durch Drehen in seinem Schwerpunktsbereich verwirklicht werden, z.B. durch Kardanring, wie in Abb. 1 dargestellt.

Die Poinsot' sche Bauweise kann verwendet werden, um die Beweglichkeit des Euler-Gyroskops zu veranschaulichen. Das Gyroskop von Euler wird in technischen Anwendungen wie Gyrokompassen und Kreiselsteuerungen eingesetzt. Im Gyroskop ieverfahren werden die Bewegungsabläufe des kraftfreien Gyroskops als Nussation bezeichnet[1]. Bei diesen Äxten gleicht sich die Fliehkraft während der Rotation exakt aus und der Gyro kann sich gleichmäßig und freimachen.

Die Messung des Widerstandes des Gyros gegen Veränderungen in der Bewegung ist sein Trägheitsmoment, das für diese Wellen als Hauptträgheitsmoment ?,2,3 genannt wird. Oft werden die wichtigsten Massenträgheitsmomente auch als B, C und C gekennzeichnet und die Drehachsen 1, 2a und 3 als ?, ? und ? bez. Das asymmetrische Gyroskop hat drei unterschiedliche Hauptmomente der Trägheit, während das symmetrische Gyroskop zwei Hauptmomente der Trägheit gemeinsam hat.

Wenn das dritte Hauptmoment der Trägheit grösser ist als die beiden anderen, wird der Symmetrische Kreisel abgeflacht oder als Oblate bezeichnet, ansonsten gedehnt oder prolatiert. In einem kugelförmigen Kreisel oder einem kugelförmigen Kreisel sind alle drei Hauptmomente der Trägheit gleich. Bei der Gyrotherapie werden die Grundvektoren im festen Referenzsystem mit den Euler-Winkeln in der Standard x-Konvention (z, x', z") exprimiert, s. Abb. 1.

Neben den Gyro-Gleichungen unterliegen die Drehbewegungen eines kraftfreien Gyros zwei weiteren Bedingungen: Im kraftfreien Zustand ist die Drehbewegung gleich. Für das lokale körpereigene Hauptachssystem bedeutet dies: Die Konservierung von Lx,y,z, L und Erot erfolgt in Übereinstimmung mit den oben aufgeführten Gyro-Gleichungen, die durch zeitliche Ableitung der Festwerte und Einfügen der Gyro-Gleichungen bewiesen werden können. In der Gyrotherapie [3] werden diese Festwerte als Integralwerte bezeichnet und sind vollrationale Funktion von Winkellängen.

Als Oberflächen, die durch den Drall ausgedrückt werden, dienen die Wirbelkugel in der höheren Gleichung von MacCullagh und das Ellipsoid in der niedrigeren gleichung, die rechtwinklig zur tangentialen Ebene steht. James MacCullagh gab eine grafische Interpretation der gyroskopischen Bewegung, die, wie die Poinsoche-Struktur, lebendig, aber nicht so ertragreich ist wie die letztere[4]. Das Drehimpulsverhalten ist im festen Körper gleichbleibend und trifft immer auf das Ellipsoid MacCullagh, das im festen Körper aus den Schlusspunkten aller zur eigentlichen Drehenergie führenden Winkelmomente zusammengesetzt ist, s. Abb. 3 Das Ellipsoid MacCullagh wird mit dem Gyroskop so gesteuert, dass das feste Drehimpulsverhalten am Ellipsoid und an der Drehkugel liegt.

Die Senkrechte des Stützpunktes auf der tangentialen Ebene zum Ellipsoid MacCullagh am Ende des Drehmoments ist eine Parallele zur momentanen Windgeschwindigkeit. Während der Fahrt formt die Winkellage den festen, einrastbaren Polkegel. Die Kreuzung aus Winkgeschwindigkeit und Drehimpuls (??×L?){\displaystyle ({\vec {\omega }}}}\times {\vec {L}})} ist gleich dem momentanen Impuls der Zentrifugalkräfte. Exakt entgegengesetzt zum Augenblick ist das Drehmoment der Euler-Kräfte, die den Druck von Drehzahl- und Achsenänderungen, d.h. die Orientierung des Ellipsoids MacCullagh, darstellen, vgl. die gyroskopischen Gleichungen von Euler in der gyroskopischen Theorie.

Ist der Kreisradius der Wirbelkugel kleiner als die kleinsten Halbachsen oder grösser als die grösste Halbachsen des McCullagh- Ellipsoids, so gibt es keine Kreuzungskurven und damit keine diesem Drehsinn und dieser Drehenergie entsprechende Verfahrbewegung, s. Barrieren für Drehsinn und Rotationsenergie[5]. Abb. 4: Tragkurven der Lösungsansätze der Kreiselgleichungen auf der Wirbelkugel.

Im Falle blauer Kurve treten perizykloide Bewegungsabläufe auf, während im Falle roter Kurve die Bewegungsabläufe epizykloide sind.

Zwischen ihnen steht die Trennmatrix, die diese beiden Formen der Bewegung voneinander abtrennt. Steht der Drall nahe der Hauptachse mit dem höchsten oder niedrigsten Massenträgheitsmoment (blaue oder gelbe Flecken in Abb. 4), so bleibt er auch nahe bei ihm, da diese Flecken von den Drehpolkurven umgeben sind.

Wenn das Moment exakt auf der 2-Achse (Schwarzpunkt) aufliegt, dann bleibt es dort, sonst bewegt es sich vom Kreuzungspunkt weg, da dieser von den Drehpolkurven nicht umgangen wird.

Der Bewegungsablauf auf der Separatormatrix ist unsicher, da die geringste Beeinträchtigung dazu führt, dass die Materialbahn epi- oder perizykloidal wird. Stimmen die Hauptmomente der Trägheit ?,2 überein, so dass der Kreisel symmetrisch ist, dann ist das MacCullagh-Ellipsoid von MacCullagh ein Dreieck um die 3-Achsen, die Trennmatrix wird zu einem großen Kreis in der 1-2-Ebene, und die Drehkreuze sind kleine Kreise in Parallelschaltung zu ihr.

In jedem Fall ist die Rotation um die Figurachse (Symmetrieachse 3) konstant, da die Drehpolkurven diese als kleine Kreise umgeben. In der Regel zeigen die zur Bildachse senkrecht stehenden Äquatorialachsen ein vielschichtiges Stabilitätsverhalten: In Bezug auf die Winkelgeschwindigkeit ?,??,??{\displaystyle \omega _{3},\,\,{\dot {\psi }},\,\,{\dot {\varphi }}} und den Neigungswinkel sind die Umdrehungen von ww_? und ? sowie die Winkelgeschwindigkeit von ww. winklig um eine Äquatorachse gleich.

Wird die Rotation um die 1-Achse durch eine kleine Winkeligkeit um die 3-Achse gestört, wird die Drehpolaritätskurve zu einem kleinen Kreis um die 3-Achse und die Rotationsachse dreht sich gleichzeitig um die 2. Ebene zur Bildachse. Allerdings kommt es bei einer kleinen Beeinträchtigung der Axialwinkelgeschwindigkeit ? oder des Anstellwinkels ? zu einer kleinen Änderung.

Der ideale Gyroskop ist zwar beweglich, kann aber bei kleinen Unregelmäßigkeiten unstabil werden, wenn der Gyroskop ausfällt. Aufgrund des Fehlens von äußeren Einflüssen macht der stark-freie Kreisel keine Absprünge. Dieser Zustand wird auf der Trennmatrix missachtet (schwarz gestrichelt in Abb. 4). Das Drehmoment durchläuft die in den Abb. 3 und 4 dargestellten Drehpolkurven, ohne je still zu stehen oder gar die Drehrichtung zu ändern.

Weil abgesehen von den Hauptachsen der Trägheit maximal eine Komponenten des Drehmomentes wegfällt und somit die örtlichen Velocity-Werte L?,2,3{\displaystyle {\dot {L}}_{1,2,3}} nach den Gyro-Gleichungen nicht alle drei auf einmal Null sein können. In dem speziellen Fall der Seperatormatrix entsteht eine unperiodische Verschiebung, da der Drall die Kreuzungspunkte auf der 2. Achse nicht übersteigen kann.

Dabei stellt sich heraus, dass sich die Hauptachse der Trägheit mit dem durchschnittlichen Haupsträgheitsmoment auf einer Rhumb-Linie asymetrisch der durch den Drall vorgegebenen Rolle annähert, s. #Bewegung auf der Separatormatrix nachstehend. Verringert sich die Rotationsenergie, z. B. durch Verlustleistung, bewegt sich die Rotationsachse in Fahrtrichtung der axial mit dem grössten Massenträgheitsmoment, nämlich der 3-achsigen in Abb. 4, da dort das MacCullagh- ellipsoid mit der geringsten Erwärmung die Wirbelkugel anspricht.

Bei symmetrischem Kreisel sind per Definition zwei von drei Hauptträgheitsmomenten gleich. Das Uhrwerk ist besonders gleichmäßig und lebendig. Unbeschränkt der Allgemeingültigkeit, ?=?=:? und die Rotation um die 3-Achsen - die Figurachse - wird hier angenommen. Bei Anwendung von ?(0)=0 und/oder ?(0)=?(0)=0 verbleiben ? und ? gleich und der Kreisel vollzieht eine ständige Rotationsbewegung oder, im Sonderfall ?,2,3(0)=0 liegt.

Zur Umriss der allgemeinen Verschiebung wird ein rechtwinkliges Koordinationssystem mit x-, y- und z-Achse im Massenzentrum des Gyros zum Zeitpunkt t=0 so platziert, dass die Figurachse und die Winkellänge in der xz-Ebene liegt, s. Abb. 5. Das Hauptachssystem ist zunächst so ausgerichtet, dass die Winkellänge und die Figurachse in der 13er-Ebene liegt und einen Winkeleisung ? beinhaltet (siehe anders in Abb. 5).

Danach ?(0)=? sin(?), ??(0)=0 und ?(0)=? cos(?) mit dem Wert ?:=||??|{\displaystyle \omega:=|{vec {\omega }}||} der Winkellaufgeschwindigkeit. Das Lösen der oben genannten Gyro-Gleichungen führt zu folgenden Ausgangsbedingungen: ={\sqrt {\omega _{1}^{2}^{2}+\omega _{2}^{2}}}}=\omega |sin(\lambda ||} und dreht sich um die Figurachse mit der Geschwindigkeit ??{\displaystyle {\tfrac {\Omega }{2\pi }}}}}. Bildachse und Drehgeschwindigkeit beinhalten daher immer den gleichen Drehwinkel, und zwar ? .

Ausgehend von der Drehgeschwindigkeit wird im gehäusefesten Hauptachssystem eine Rotationsbewegung um die Figurachse durchgeführt und dadurch der gehäusefeste Gangkegel, Polhodiekegel, Trommelkegel oder Polekegel (rot in den Bildern 5 und 6)[8]. um den Schwerpunkt der Massenkonstanten (grün in den Bildern 5) und die Präzisionsachse[9] geformt. Die letztgenannte Zersetzung zeigt, dass der Drall in der von der Figurachse überspannten Fläche und der Drehgeschwindigkeit ??{\displaystyle {\vec {\omega }}}, der Präzessionsfläche[9] aufliegt.

Der abgeflachte Kreisel ist ? > ? und der Getriebepolkegel läuft, wie in Abb. 6 auf der Innenseite des Verriegelungspolkegels gezeigt. Auch das Abwickeln ist schlupffrei, denn die übliche Oberflächenlinie des Polkegels ist die Momentanachse, die durch die Drehgeschwindigkeit eingestellt wird und durch den Ruhepunkt der Masse verläuft (siehe Abb. 6).

Solange die Teilchen des Gyros auf der Rotationsachse stillstehen, bleibt der Snap-In-Polkegel ohnehin ruhen, und ein Verrutschen zwischen Gyropol und Snap-In-Polke ist somit auszuschließen. Die Winkelstellung der Figurachse und des Drehimpulses sowie die Zy-Komponente der Drehgeschwindigkeit kann mit der Mechanik im nachfolgenden Kapitel bestimmt werden.

Aufgrund von cosx=(1+tan2x)-1/2{\displaystyle \cos x=(1+\tan ^{2}x)^{-1/2}} und tan(?)=x?tan(?){\displaystyle \tan(\vartheta )={\tfrac {\Theta _{0}}}{\Theta _{3}}}\tan(\lambda } } folgert für das Drehimpuls: Der Winkel der Drehgeschwindigkeit mit den Additionssätzen beträgt zur Zeit t=0: Erträge. Heißt der Rotationswinkel der Präzessionsebene um die z-Achse ? und hat am Anfang den Nullwert, dann erfolgt mit den Werten für ? und tan(?), cos(?)=(1+tan2(?))-1/2{\displaystyle \cos(\vartheta )=(1+\tan ^{2}(\vartheta ))^{-1/2}} und der Name des asymmetrischen Gyros hat per Definition drei unterschiedliche Haupttätigkeiten.

Wenn sich ein solcher Kreisel um die 3-Achsen drehen sollte, kann diese bewegen. In dem erstgenannten Falle steigen kleine Störgrößen explosionsartig an und der Gyro wird zitternd. Das wird im folgenden Kapitel erläutert. Der Sonderfall der Verschiebung auf der Trennmatrix, der im Kapitel #Allgemeine Merkmale der Verschiebung von kreiselnden Kreiseln ohne Kratzer festgelegt ist, wird am Ende erläutert.

Abb. 7: Djanibekov-Effekt: Bewegungsablauf einer in Schwere erscheinenden Komponente um ihre unstabile Hauptachse der Trägheit. Hervorzuheben ist, dass das Drehmoment des Bauteiles beibehalten wird. Nach der Beobachtung der Bewegungen einer Komponente um ihre labilen Hauptträgheitsachsen durch den sowjetischen Kosmonauten Vladimir Dschanibekov während eines Raumflugs 1985 wurden die Fakten näher untersucht[13] und werden seither manchmal als "Dschanibekov-Effekt" bezeichnet.

Bei negativer k-Konstanz der Drehgeschwindigkeit kommt es zu einer positiven Rückmeldung der Drehgeschwindigkeiten und damit zur Aufgabe der Drehung um die 3-Achse und zu einem Wackeln. Wenn k ein positives Signal ist, kommt es zu einer periodischen Verschiebung um die 3-Achsen.

Dazu müssen die wichtigsten Trägheitsmomente ?,2 entweder beide grösser oder beide kleiner als das dritte Haupt-Trägheitsmoment ? sein, aus dem sich die oben genannte Erklärung über die Festigkeit der Äxte ergibt. Selbst bei sehr unterschiedlichem Haupt-Trägheitsmoment kann selbst eine standfeste Rotationsachse unstabil wirken. Hier ist K das komplette Ellipsenintegral der ersten Art: So ist die Drehgeschwindigkeit mit der Periodendauer T=4Ka{\displaystyle T={\tfrac {4K}{a}}}} wiederkehrend.

Danach ist die Drehgeschwindigkeit in ihren Anfangszustand zurückgekehrt: ??(T)=??(0). Dies trifft jedoch nicht auf den Kreisel als Ganzes zu: Er geht in der Regel nicht in eine Ausgangsposition[15] zurück, dann wird sein Zeichen umgekehrt. Im Gegensatz zum kraftfreien, symmetrischen Kreisel sind die Drehwinkelgeschwindigkeiten ?,??,??{\displaystyle \omega _{3},\,\,{\dot {\psi }},\,{\dot {\varphi }} und der Drehwinkel zwischen dem Drehmoment und der 3-Achsen-Achse nicht konstant. der Drehwinkel ist der Drehwinkel.

Annäherung an die durch den Drall definierte Drehachse, s: Abb. 8, Annahme, dass die Ellipsenfunktionen in die unperiodischen Hirnanhangfunktionen übergehen: Im Laufe der Zeit werden die Frequenzen und Winkellängen des vorherigen Abschnittes immer spezialisierter: ? und ? gehen gegen Null und ? gegen L/?. Die Bewegungen kommen einer Rotation um die 2. bis 2. Ebene so nahe wie sie wollen, ohne diesen Status je zu durchlaufen.

Der Bewegungsablauf auf der Trennmatrix ist unstabil. Ein Bewegungsmuster in der Nähe der Trennmatrix verdeutlicht den Effekt Dschanibekow. Im Gegensatz zum vorherigen Kapitel wird für die Kalkulation der Verschiebung der Ansatz h^1,2,3=e^Y,Z,X{\displaystyle {\h}}}_{1,2,3}={\hat {e}}_{Y,Z,X}} für das örtliche Grundsystem verwendet, s. Abb. 10 und cf. Abb. 2: Die von der Zwei-Achse überspannte Fläche und der Drall kreisen um die Drall-Achse bei einer konstanten Drehgeschwindigkeit L/? und der Drehwinkel ? nähert sich im Laufe der Zeit dem Nullpunkt. Der Wurzelbruch ist gut und kleiner als eins: Der kraftfreie Gyroskop ist eine Ideallinie, die nur annähernd unter den gegebenen Umständen auf der Erdkugel realisierbar ist.

Einerseits entstehen zwangsläufig Reibungsmomente in den Gleitlagern, die den Gyro gegen die Gewichtskraft fixieren, andererseits führen die Haftbedingungen der Raumluft an Festkörperoberflächen zu einer Bremswirkung mit der Raumluft. Die Reibungseinflüsse in der Kardanaufhängung, wie in Abb. 1 dargestellt, variieren mit dem rotationssymmetrischen Kreisel, je nachdem, ob er gedehnt oder abgeflacht wird:

Bei einem gedehnten Kreisel erhöht sich der Steigungswinkel ? in Bezug auf den Drall und die Figurachse wird zu einer instabilen Rotationsachse. Am abgeflachten Kreisel verringert sich der Steigungswinkel ? und die Figurachse verbleibt als stabiler Drehpunkt. Beide Gyroskope haben gemein, dass ihre eigene Drehzahl ? mit der Zeit abfällt. Zudem verlangsamt die Luftreibt die Eigengeschwindigkeit und hat unterschiedliche Auswirkungen auf gedehnte oder abgeflachte Rotoren: Bei einem gedehnten Rotator richtet sich die Rotationsachse immer mehr rechtwinklig zur Achse der Figur aus, die hier auch zu einer instabilen Rotationsachse wird.

Bei dem abgeflachten Kreisel bewegt sich die Drehzahl in Richtung der Bildachse, die eine gleichbleibende Rotationsachse ist. de ? ab R. Grammel: The Top. Springer, New York / Berlin / Heidelberg / London / Paris / Tokio 1989, ISBN 3-540-96890-3. K. Magnus: Top. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 1971, ISBN 3-540-05198-8 Die interaktiven Animationsmöglichkeiten von Kreisel- und Schwenkbewegungen.

Das TIB AV-Portal der Deutschen Zentralbibliothek für Wissenschaft und Technik, qualitativ geprüfte Wissenschaftsvideos zum Themenbereich Gyros.

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