Würfel Würfeln

Dice Würfel

Das obere Diagramm zeigt die absoluten Häufigkeiten der gerollten Zahlen als Histogramm. Anstatt mit ihnen zu würfeln, d.h. zufällige Ergebnisse zu erzeugen, können die Würfel auf bestimmte Werte gedreht und zur Darstellung verwendet werden. Der Nominative, die Würfel, die Würfel.

Der Würfel, der Würfel, der Würfel. Der Würfel, der Würfel, die Würfel.

Die Kurzhantel als Zufallsmodell

Wieviel Chance hat ein Würfel? Am Max-Planck-Institut für Dynamics and Self-Organization in Göttingen ist Jan Nagler auf dem Gebiet der Chaos-Forschung tätig und erarbeitet dazu Rechenmodelle, um dieser Fragestellung auf den Grund zu gehen. Das chaotische Systemverhalten ist in der Bauphysik durch seine extreme Empfindlichkeit gegenüber gegebenen Ausgangsbedingungen gekennzeichnet.

"Echte Zufälle sind für chaotische Situationen nicht wichtig - im Unterschied zur Sensibilität der Ausgangsbedingungen sind sie für das chaotische Handeln nicht notwendig", sagt Jan Nagler, Diplomphysiker am MPI für Physik, und am IISA. In der Regel sind chaotische Anlagen nicht vorhersehbar, obwohl die untersuchten Anlagen bestimmend sind, d.h. die künftige Marktentwicklung wird durch die Ausgangsbedingungen mitbestimmt.

"Das ist bezaubernd ", so Nagler. Die Anziehungskraft der Chaos-Theorie liegt darin, dass in unübersichtlichen Strukturen das Wissen über den künftigen Stand durch die Genauigkeit eingeschränkt wird, mit der man die Ausgangsbedingungen ausmessen kann. Der Würfel galt schon immer als der perfekte Zufallsgenerator. "Dieser Würfel ist ein interessanter Ansatz, zumal noch nicht viele den Würfelprozess erforscht haben.

"Er untersuchte die Fragestellung, wie man die Dynamiken eines Kubus beschreibt und in welchem Maße der zufällige Würfelwurf eine wichtige Funktion hat. Zur Untersuchung der Willkür des Kubus hat die Physikerin ein Model entwickelt, das auf den ersten Blick wenig mit dem Klassiker der sechseckigen Würfel zu tun hat: den Einwurf mit einer Dummkopf.

Der Grund dafür ist der Umstand, dass die Würfel vertikal auf einer Ecke stehen und entweder auf die eine oder auf die andere Richtung abstürzen. "Dies ist das simpelste Würfel-Modell, das chaotische Verhaltensweisen beschreibt", sagt Nagler. Das so gebaute Kurzhantel kann sich in einer Fläche, d.h. zwei Dimensionen des Raumes, fortbewegen und durch Schwerkraft herunterfallen.

Wenn die Kurzhantel in den Simulationsläufen auf den Grund schlägt, geht sie zurück, stürzt herunter und steigt wieder auf, wendet sich vielleicht und kommt schließlich zum Stillstand - so wie ein Würfel mehrfach über den Spieltisch gesprungen ist, bevor er eine Zahl anzeigt. Der Bewegungsablauf der Kurzhantel wird durch unterschiedliche Ausgangsbedingungen bestimmt: die Wurfweite, die Ausrichtung der Kurzhantel zum Untergrund, das Masseverhältnis und natürlich durch die Bodenreibung.

Durch die Reibkräfte wird der Kurzhantel in Bewegung gesetzt und somit der Sturz bis zum Ende gebremst. Die Kurzhantel wird dann auf die Platte gelegt, aber die Reibung im Allgemeinen ist noch nicht vollständig verstanden", erläutert er. Zur Beschreibung der Dynamiken eines Hantelwurfes unter unterschiedlichen Ausgangsbedingungen hat er sich einen Symbolcode ausgedacht, mit dem er das chaotische Benehmen aufzeigen kann.

Die Physikerin betrachtet bei jedem Schlag der Kurzhantel die Ausrichtung der beiden Masse im Verhältnis zur Ausgangsposition. Wenn sich die Ausrichtung nicht verändert hat, weist er dem Stoß eine 0 zu, wenn die Lage der Masse umgekehrt ist, zeigt er dies mit einer Eins an. Er erkennt auch, ob sich die Kurzhantel bei einem Rollover gegen den oder gegen den Uhrzeigersinn drehen kann und bezeichnet dies mit den Anfangsbuchstaben L oder R.

Im Rahmen von Simulationsrechnungen hat die Firma eine Vielzahl von Ausgangsbedingungen erprobt, um festzustellen, wie diese die Lage der Kurzhantel nach einem Einwurf ausmachen. So ermittelte er z.B. die Friktion, die Wurfweite und das Masseverhältnis und prüfte dann gezielt die Wurfmöglichkeiten der Dumbbell. Ein solcher Einwurf wird dann nur durch die Ausrichtung der Kurzhantel zum Erdboden und durch die Kraft, mit der sie geschleudert wird, festgelegt.

Das Ergebnis der Simulation kann in einem so genannten Umlaufbahndiagramm dargestellt werden. Hier wird die Kraft (Drehimpuls) gegen die Ausrichtung (Drehwinkel) gezeichnet und jeder Messpunkt korrespondiert mit einem einmaligen Set von Vorgabewerten. Wenn sich die Ausrichtung der Masse nach dem Einwurf nicht geändert hat, ist der Wurfpunkt gelbe Farbe. Eine Orientierungsänderung ist in roter Farbe gekennzeichnet.

Auch die Leuchtkraft der Farben zeigt, wie oft die Langhantel auf den Fußboden sprang, bevor sie zum Stillstand kam. Die dunklere Färbung, je mehr springt die Dumbbell. Anhand der Orbit Flip Diagramme wird klar, dass die Ausgangsbedingungen die Berechenbarkeit oder Unvorhersehbarkeit des Würfels bestimmen. Anders ist das in den Mischgebieten, wo chaotisch anmutendes, willkürliches Benehmen zu erkennen ist:

Hier gibt es die sensible Abhängigkeiten der Ausgangsbedingungen, die ein Chaos darstellen. In den Diagrammen wird gezeigt, dass je größer die Langhantel ist und je geringer die springende Friktion, desto kleiner die vorhersehbaren Flächen werden. Beide erhöhen die Zahl der Absprünge, die die Kurzhantel auf dem Grund macht, bevor sie stoppt, was öfter zu den Zufallssituationen führen kann, in denen die Kurzhantel fast am Rande steht.

Wie Nagler mit seinen Untersuchungen herausfand, macht die Modellhanteln im Durchschnitt fünf solcher Absprünge mit realitätsnahen Reibwerten und somit ist das Werfergebnis noch verhältnismäßig gut vorhersehbar. Dass ein Würfel als Zufallszahlengenerator fungiert, ist daher wahrscheinlicher auf die "äußere Chance" der Runde zurückzuführen: Ein gewöhnlicher Spieler kann die Ausgangsbedingungen, mit denen er immer wieder vergleichbare Würfe würfeln könnte, nicht gut genug wiedergeben.

Nagler ergänzt: "Ich denke, man kann das Betrügen gut ausbilden. "Würfel sind immer ungerecht, weil sie nicht wissen, wie sie angefangen haben."

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